一家讨论小学奥数逻辑推理题之六-金磊讲几何构型
有
一些逻辑推理问题几乎不需要知识，只需要严谨的逻辑推理。可以说只需简单的小学知识，我前段时间给小学和初中讲过以下问题：
1、一个户口调查员敲开了一户人家的大门，并询问屋内的妇女有几个小孩，孩子们多大了，该妇女回答：“我有三个女儿，他们的年龄都是整数，并且她们的年龄乘积为36，她们的年龄之和等于我们家的门牌号。”调查员看了她们家的门牌号，想了一下，说：“这些信息还不够算出她们的年龄，我希望得到更多的信息。”“好吧，我大女儿不是双胞胎。”请问你知道了该妇女三个女儿的年龄了吗？
我让儿子做一下，他读完以后感觉一头雾水，我提示他可以一步步推理，用笔列举计算一下即可。然后他基本就有了思路，大概如下：
首先由年龄之积为36推出所有可能的年龄组合：
（1）1,1,36 1+1+36=38
（2）1,2绝品全才,18 1+2+18=21
(3) 1,3,12 1+3+12=16
(4) 1,4,9 1+4+9=14
(5) 1,6邓秋婷,6 1+6+6=13
（6）2,2,9 2+2+9=13
（7）2,3,6 2+3+6=11
(8) 3,3,4 3+3+4=10
然后通过这位妇女的第二句话，因为只有（5）、（6）的年龄之和是相等的，从而使人无法判断这位妇女三个女儿的年龄。可以知道她们年龄的组合只可能是（5）、（6）长荣场站。再看这位妇女的最后一句话情定爱琴海，从这句话可以得知她有一个最大的女儿，所以这位妇女的三个女儿的年龄分别是2岁、2岁、9岁。
这个问题所需要的知识很少，但是却需要一定的逻辑推理能力，是一个老少皆宜的好题，老婆也基本这样算出来了。
下面我又给他们看一个更难一点的问题：
2、老师告诉学生他的生日是下面给出的18个日子中的一个，然后老师把他生日的月份告诉了小宇，日期告诉了小馨，让他们猜自己的生日。他们对话如下：
小宇想了一会说：“我不知道老师的生日，但我肯定你也不知道。”
小馨想了一会说：“我知道老师的生日了。”
小宇想了一会说：“哦，我也知道了楚汉传奇曹氏扮演者。”
问：你知道了吗？
这个题目看起来有点无厘头，似乎没有任何信息，但是仔细思考可以明白，其实他们的每句话都暗含玄机。我让儿子仔细思考，基本思路就是排除。
首先由小宇的第一句话可知这个月不是单独月，排除4月6日。
然后由小宇的第二句话可知没有单独的日子（我们把给出的四个月中只出现一次的日子称为单独的日子）猛鬼爱情故事，因为如果存在单独的日子，小馨就有可能知道准确日期，儿子排除了3月6日和12月17日。后面却下不去了。
我提示他说：条件没有充分利用。小宇肯定小馨不知道，是看着自己的月份说得，也就是说不可能是3月6日和9月5日，所以他拿的月份一定不是3月和9月。
儿子恍然大悟，这样他就把整个3月和9月都能排除掉了。继续往下推理，
然后由小馨的话可以知道这个日子在剩下的两个月中是单独的日子，锁定三个可能是正确答案的日子：5月8日，12月7日，12月21日。
小宇的最后一句话表示这一天是5月8日（如果是另外两个日子，小馨可以知道，但小宇无法知道）。
所以最终本题的结果是5月8日！
这个问题是我改编的，老婆前段时间把这个贴到朋友圈，很多朋友都加入了解题行列，不过不少朋友像我儿子那样误入歧途了。也有一些高手得到了正确的答案，并写出了详细的讲解。
当然这类问题的最高峰是下面这个题目：
3、“孙庞斗智”鬼谷子先生有两个绝顶聪明的门徒，一个叫孙膑，一个叫庞涓。有一天鬼谷子对他们两个说：“我想了两个大于1且不超过100数（他们当时的数当然是自然数），现在你们两个猜.”然后他把这两个数的和告诉了孙膑杨洁箎，这两个数的积告诉了庞涓东方地灵殿，让他们猜这两个数。他们对话如下：
孙膑想了一会说：“我不知道这两个数，但我肯定你也不知道。”
庞涓想了一会说：“我知道这两个数了.”
孙膑想了一会说：“哦，我也知道了.”
问：你知道了吗？
这个题目的“谜面”和上面那个似乎差不多，对话内容完全一样。但是差之毫厘谬以千里，因为结果的可能性增加了很多，所以难度也就大大的增加了叶红影。
不过基本思路应该还是充分利用条件，把每一句话都分析透彻。
先设大于1且不超过100的两个自然数为x,y,x+y=s,xy=p,首先我们先确定s的范围是[4,200]。
由孙膑的第一句话可以得出他拿到的两数之和一定无法分解成两个质数。否则庞涓就有可能知道这两个数,(例如假设孙膑拿到的是9,它可以分为2和7,2×7＝14,如果庞涓拿到14，所以庞涓就可以知道知道这两个数.)将200内所有可以分为两个质数x,y的数删掉即可。这里似乎和“哥德巴赫猜想”有关系了，因为根据“哥德巴赫猜想”：每个大于2的偶数都能分解成两个质数和的形式八神鬼步。从而s必为奇数，而且s-2不是质数！
这就把“普通”的第一句话用完了吗？
很多人都会这么认为，我开始也是。这样其实s的结果还是非常多的，后面几乎无法通过手算来完成，很可能要通过编程解决。
直到有一天，我突然发现，这句话还有更深层的意味！
因为由这句话还可以得到s<57!
这是因为剩余的数中，大于53的数都可以分为一个大于50的质数和一个合数之和，这个质数乘以一个大于1的数后大于100。例如假设孙膑拿到的数是57,57可以分为53和4,53×4=212=106×2，如果庞涓拿到212，那他就可以知道这两个数只能是53和4，而不会是106和2，因为这两个数都不超过100。
我们容易得到57以下的质数为2,3给秦叔的情书,5,7,11卫良人,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53。
这样经过这两步的排除，s剩下的数只有
11,17,23,27,29,35,37，41,47,51，53这十一个数.
我们假设他们两个都足够聪明。都能很快想明白上面的事情街市伟。所以庞涓也就知道s只能是上述11个数的一个了。
由庞涓知道了，说明他把t所有的分解都列举出来，两数和中恰有一个在上面11数中。
然后孙膑知道了，说明他把自己手中的s分解的两数和都列举出来，两数积中恰有一个满足庞涓的要求。
从而我们就获得了本题的解题思路，即对上面11个s的可能结果，先列举出s分解为两数和的所有情况，然后列举出相应的两数积t分解为两数积的所有情况，则对应的和s’中恰有一个在上述11个数中。而且这样的t恰有一个。因为如果一个s有两个满足条件的t,则虽然庞涓能算出此两个数，但是孙膑却算不出来。
下面我们把这11个数逐一进行验证排除即可：
（1）.11=2+9 2×9=18=3×6 （3+6=9,9已被排除，所以在这种情况下庞涓可以知道这两个数，同理以下打对号表示庞涓可以确定此两数）√
=3+8 3×8=24=12×2=4×6 √
…
后面的就不用列举，就能排除11了。因为如果孙膑拿到11,庞涓不论拿到18,还是24,都能知道这两个数,而孙膑无法知道,所以孙膑拿到的一定不是11.
(2).17=15+2 15×2=30=5×6=3×10 ×
=14+3 14×3=42=6×7=21×2 ×
=13+4 13×4=52=26×2 √
=12+5 12×5=60=6×10=3×20=2×30=4×15 ×
=11+6 11×6=66=22×3=33×2 ×
=10+7 10×7=70=14×5=35×2 ×
=9+8 9×8=72=3×24=18×4=36×2 ×
通过列举17的所有结果，我们即可知道，当孙膑拿到17,庞涓拿到52,他们都可以知道这两个数是13和4.
通过上面的两个例子我们基本能确定了，要通过孙膑的最后一句话排除一个s,不需要列举出全部的可能性结果绳索下压，只需要找到两个庞涓能确定，而孙膑不能确定的分解即可（即两个√号），庞涓最容易确定的结果是s分解两数和中一个是2的幂另一个是质数，这样的其他分解和都是偶数，从而庞涓即可确定。如果找不到这样的分解，退而求其次，就找2的幂与完全平方数的和，这样满足条件结果也很少，庞涓也很容易排除掉其他结果，从而唯一确定。下面按这个原则把以下的结果排除即可爱戴网。
(3).23=19+419×4=76=38×2 √
=7+1616×7=112 √
(4).27=23+4√
=19+8√
(5).29=16+13√
=25+4 25×4=100=5×20=2×50 √
(6).35=31+4√
=19+16√
(7).37=29+8√
=5+32√
(8).41=37+4√
=16+2525×16=400=5×80√
(9).47=43+4√
=31+16√
(10).51=47+4√
=19+32√
(11).53= 37+16√
=6+4747×6=282=2×141=3×98√
这样我们就彻底解决了本题，即孙膑拿到的是17，庞涓拿到的是42，两个数为4和13。上面一方面说明了17（两数为4和13）是满足条件的，另一方面也说明了其他的数不满足条件。
本文前两个题目比较简单，小学生做的都挺好的袁雪儿，大家基本都能理解，稍加提示都能得到正确答案。
第三题的难度却非常大，这个题目直接做起来很难入手，理解题意都困难，不过有了前面第一第二题作为“饭前甜点”做铺垫，题意理解起来相对容易多了。但是因为可能性太多，一一列举起来非常困难，所以需要尽量排除。根据哥德巴赫猜想，s为偶数不可能。这里要说明的是，哥德巴赫猜想虽然没有被证明，但是已经验证过在很大的数范围以内都是成立的。所以是可以直接引用的，当然如果不想引用，直接列举或实验也是不困难的。
这样排除完，结果还是有很多，只有发现了可以排除掉57以上的数，才能拨云见日。
当然最后还需要细心筛查才能最终得到正确的结果。我们得到17 是正确的，排除其他结果时，只要举出两个反例即可。反例选举时尽可能选择质数幂的和，因为这样分解两数乘积时结果比较少，容易排除。
马子跃 当然这个问题还可以进一步扩展，后来我好像见过书上说此题是早年的IMO（国际数学奥林匹克）中国国家队选拔考试题目。
我第一次见到这个题目是在高中的时候，大概是1998年附近。当时我做数学竞赛绮梦红颜，同班同学李慧霸做计算机竞赛，这是他给我的题目，好像是他们计算机竞赛的题目。这个题目人见人爱，我们班很多同学对这个问题讨论了好久，最终终于得到了上述结果。这个是我们高中印象最深刻的一个数学题目。多年以后，还有不少同学如申亮等提到这个问题，以后我也偶尔给最优秀的竞赛学生讲到这个问题。
前天我刚下飞机在我们高中班级微信群接到噩耗欧利萨斯，我们高中的数学老师李会珍老师去世。昨天早上举行了遗体告别仪式，下午上完课，晚上我代我们班全体同学去她家看望，给她上了一炷香，把我们其他老师和同学的心意带到。李老师是我们高中的代数老师，1992年被评为特级教师，省级劳动模范。学高为师，身正为范，实实在在，勤勤恳恳，兢兢业业，潜移默化，润物无声，为我们的成长注入了无限的正能量。03年左右我和姚若飞去交大思源中学看过她，工作后她到我们学校指导过我们几次教学，前几年过年也去看过她，去年在路上遇到她，匆忙间没说太多，只是感觉她的精神依然矍铄。没想到那居然就是最后一面了。真是后悔没有多去看她！
我当时选择当老师很大程度上得益于当时像她这样的一些优秀的老师的熏陶和影响，李老师家人也说起，她的孙子去年以高考数学满分的优异成绩进入西安交大最好的班级——钱学森班，现在他也希望将来从事老师这个平凡而伟大的职业。所以李老师虽然离开了我们，但是她的严谨和勤恳的精神已经传递给了我们，让我们一代代薪火相传！优秀的老师一定会千古流芳！！
本文算是对李老师的一种纪念。
呜呼哀哉，伏惟尚飨！
